滑りながら転がる球

　水平な床の表面状態が ${x }$ ＝0で二分され、 ${x }$ <0の領域では滑らかで、 ${ x }$ >0では粗いとする。 ${x }$ <0 の領域を、回転せずに速度 ${ v }_{ 0 }$ で滑ってきた球が、時刻t=0に ${ x }$ >0 の領域に入り、時刻 ${ t }_{ 1 }$ に、球は滑ることなく、床を転がり始めた。球の半径を ${ a }$ 、質量を ${ M }$ 、慣性モーメントを $kM{ a }^{ 2 }$ とし、さらに ${ x }$ >0 の領域での、球と床の間の動摩擦系数をμ、転がり摩擦を0として次の問に答えよ。　

問1　時刻 ${ t }$ における球の並進速度を ${ v }$ 、回転の角速度をωとして、時刻 ${ t }$ が0＜ ${ t }$ ＜ ${ t }_{1}$ における球の運動方程式を求めよ。　

問2　 ${ t }_{1}$ の値を求めよ。

問3　球が、滑ることなく転がるまでに失った力学的エネルギーの大きさを求めよ。

解答および解説 　

（問1）　球に働く水平方向に力は、球の進行方向と逆向きに働く摩擦力 $\mu Mg$ 　であるから、（1）並進運動および（2）回転運動の運動方程式は、それぞれ、

（1）並進運動の運動方程式は $M\dot { v } =-\mu Mg$ 　であるから、簡単に　 $\dot { v } =-\mu g$ 　となる。

（2）回転運動の運動方程式は： $kM{ a }^{ 2 }\dot { \omega } =\mu Mga$ だから　 $\dot { \omega } =\frac { \mu g }{ ak }$ 　となる。

（1）は並進速度が一定の割合で減少することを示し、（2）は角速度が0から一定の割合で増加することを示している。

（問2）　初期条件を考慮して（1）および（2）を時間で積分すると、

(3)並進速度：　 $v={ v }_{ 0 }-\mu gt$

(4)角速度： $\omega =\frac { \mu g }{ ak } t$ 　

となる。滑らない条件 $v=a\omega$ が成り立つ時刻が ${ t }_{1}$ であるから、(3)と(4)から ${ t }_{1}$ を求めると、

(5)　 ${ t }_{ 1 }=\frac { k }{ \left( 1+k \right) \mu g } { v }_{ 0 }$

（問3）　時刻0における球の力学的エネルギー ${ E }_{ 0 }$ は

${ E }_{ 0 }=\frac { 1 }{ 2 } M{ v }_{ 0 }^{ 2 }$

(3)と(5)および(4)と(5)から、時刻 ${ t }_{1}$ 以後の速度 ${ v }_{ 1 }$ および角速度 ${ \omega }_{ 1 }$ は、それぞれ、

${ v }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 1+k } { v }_{ 0 }$

${ \omega }_{ 1 }=\frac { 1 }{ \left( 1+k \right) a } { v }_{ 0 }$

となる。よって、 ${ t }_{1}$ における球の並進運動のエネルギー: ${ E }_{ G }\left( { t }_{ 1 } \right)$ 、および回転の運動エネルギー: ${ E }_{ R }\left( { t }_{ 1 } \right)$ は、それぞれ、

(6) ${ E }_{ G }\left( { t }_{ 1 } \right) =\frac { 1 }{ { \left( 1+k \right) }^{ 2 } } { E }_{ 0 }$

(7) ${ E }_{ R }\left( { t }_{ 1 } \right) =\frac { k }{ { \left( 1+k \right) }^{ 2 } } { E }_{ 0 }$

　力学的エネルギー： $E\left( { t }_{ 1 } \right)$ は（6）と（7）より、 $E\left( { t }_{ 1 } \right) =\frac { 1 }{ 1+k } { E }_{ 0 }$

　よって、球が滑らずに転がるまでに失う力学的エネルギーは、 $\frac { k }{ 1+k } { E }_{ 0 }$ 　となり、動摩擦係数μに依存しないことがわかる。さらに、これまでの議論は物体が球（k=2/5)の場合だけでなく、円柱(k=1/2)の場合も円筒（k＝1）の場合にも成り立つ。球の場合は最初のエネルギーの2/7が失われ、円柱や円盤では1/3、円筒では1/2が失われる。

問3の別解

　時刻が0から ${ t }_{1}$ までに球が移動した距離Lおよび球が回転した角度Θは、それぞれ、（3）の並進速度および（4）の角速度から求められる。摩擦力F＝μM ${g}$ は一定だから、摩擦力が並進運動にした仕事： ${ W }_{G}$ 、および、回転運動にした仕事： ${ W }_{R}$ をそれぞれ、 ${ W }_{G}$ ＝－FL　および ${ W }_{R}$ ＝ ${a}$ FΘ と計算し、並進運動および回転運動のエネルギーを求めても同じ結果となる。

　Lは球の移動距離、 ${a}$ Θは球が転がった距離だから、 S=L－ ${a}$ Θ は滑った距離だから、生じる摩擦熱は、Q＝FS となり、その値は力学的エネルギーの損失と等しくなる。

蛇足ながら

　「ローラー引きの力学」では、摩擦力はローラーの並進運動に負の仕事をし、回転運動に正の仕事をしたが、この問題も、摩擦力は、球の並進運動と回転運動に、それぞれ、負と正の仕事をしている。ローラーの問題では、ローラーは滑らないので負と正の仕事が打ち消し合うのに対し、今回の問題は球が滑りながら転がっているので打ち消し合わない。どちらの場合も、動かない地面や床がローラーや球に及ぼす摩擦力によって回転のエネルギーが増す。力が物体の並進運動にする仕事は、力×物体の移動距離であり、回転運動にする仕事は、力のモーメント×回転した角度である。　

類題

　 ${v}_{ 0 }={0}$ で、回転の初期角速度を ${ \omega }_{ 0 }$ と与えた場合はどうなるだろうか。