準天頂衛星が地表に描く投影図

１．はじめに　

　地球の中心と衛星の位置を繋ぐ直線が地表面を貫く点が描く図形、即ち、衛星位置の地表面への投影図について考えてみよう。地球の自転と衛星の公転の角速度が一致していれば、衛星の投影図は赤道上の一点になり、その点は動かないので、静止衛星になることは明らかである。しかし、自転と公転の角速度の大きさは一致しているが、角速度の向きが異なる衛星の投影図をイメージするのは難しい。さらに、赤道面から傾いている軌道面を、地球自転と同じ周期で楕円運動をする衛星の投影図は、また一段と難しくなる。地球の自転と同じ周期で公転する衛星は準天頂衛星と呼ばれるが、地球を完全な球とみなして、準天頂衛星の運動を、地球の自転と一緒に回転する座標系への変換を試みた。

２．静止衛星と準天頂衛星の力学

　地球の自転と一緒に回転する座標系から見ると、赤道上空には、図１のように、万有引力と座標変換に伴う遠心力とが釣り合う位置Aが存在する。地球の中心OとAとの距離をRとすると、静止衛星を打ち上げることができるのは、半径Rの球面上の赤道上だけであり、半径Rの球面上に位置していても、赤道面上にないB点では、万有引力と遠心力とが釣り合わず、静止衛星にはなれない。では、回転座標系のAの位置に静止している衛星、つまり、静止衛星に赤道面に垂直な初速度を与えれば、衛星の運動は回転座標系上でどのような軌跡を描くだろうか。赤道面からのずれが僅かであれば、南北に単振動をすると考えられるが、振れが大きい場合には、万有引力と遠心力のほかにコリオリの力が働き、衛星には南北方向の力だけでなく東西方向の力が働くことになる。

３．天空に揺れる振り子

　図１のB点の衛星に働く万有引力と遠心力の合力は、北半球では南を向き、南半球では北を向き、赤道面上では０になり、天空を南北に往復運動する振り子になる。ただし、この天空の振り子には、振り子が振れているときは、万有引力と遠心力のほかに、にコリオリの力が働き、振り子の運動は経線方向の往復運動だけででなく、緯線方向にも往復運動が現れる。衛星が南北方向に、１往復する間に、コリオリの力の向きは、衛星の位置の南北が変わるときと、速度の向きが変わるときに逆向きに変わるので、コリオリの力の緯線方向成分は１周期の間に２回振動し、衛星の軌道は半径Rの球面上に８の字形のリサージュ図形を描く。それを地表に投影すれば図２になる。北半球では衛星の進行方向に対し右向きのコリオリの力を受け、８の字を右回りに回転し、南半球では左向きのコリオリの力を受け左回りに回転する。振り子が振れていない状態が静止衛星に相当する。

４．楕円軌道に打ち上げられた準静止衛星

　図２のような南北対称な８の字を描く準天頂衛星は、公転と自転の角速度は異なるが、その大きさは同じであるから、衛星の慣性系での軌道は、赤道面から傾いた円軌道であるが、それが楕円軌道の場合にも、公転周期が地球の自転周期に一致すれば、準天頂衛星である。

　図３や図４は、衛星の公転面が赤道面から傾いたうえ、さらに楕円軌道に打ち上げられた準天頂衛星の投影図である。この場合は、衛星の高度も変化し、衛星は同一球面上にはないので、回転座標系では、座標変換による、みかけの力は遠心力と水平運動に伴うコリオリの力のほかに、高度変化に伴うコリオリの力^注１)も考えなければならないので複雑になるが、その場合も、投影図は図２の８の字型の変形として理解できよう。

５．おわりに

　人工衛星の投影図を作図するだけなら、今の時代、ソフトを使えば簡単に描けるのだから、それでよいではないか、慣性系から見れば、単純な円運動や楕円運動なのに、それを、わざわざ座標変換をして敢えて複雑に考える必要があるのか、そのような疑問が生じるのは当然だが、その問いには、「それが物理だ」と答えるほかなかろう。

注１）高度変化に伴うコリオリの力は、自由落下にも影響を及ぼし、落下地点がわずかに東にずれる。このとき、落下物が描く曲線をナイルの曲線と呼ばれている。

なお、図２，３，４は、いずれもJAXAのホームページから引用した図である。　

地上の振り子の紹介：準天頂衛星は、重りを支える支点も糸も存在せずに、天空に巨大な８の字を描く振り子として理解することができるが、地上にも、重りが鉛直面内に８の字を描く興味深い振り子が存在する。→広義の振り子とヨコ８の字運動　

演習問題１　準天頂衛星の周期を求めよ。　ヒント：静止衛星の周期に等しい

演習問題２　図３において、衛星が地球から一番遠ざかるのは８の字のどの位置か。