滑りながら転がる球

 水平な床の表面状態が [math]{x }[/math]=0で二分され、 [math]{x }[/math] <0の領域では滑らかで、 [math]{ x }[/math] >0では粗いとする。 [math]{x }[/math] <0 の領域を、回転せずに 速度 [math]{ v }_{ 0 }[/math] で滑ってきた球が、時刻t=0に [math]{ x }[/math] >0 の領域に入り、 時刻 [math]{ t }_{ 1 }[/math] に、球は滑ることなく、床を転がり始めた。 球の半径 を[math]{ a }[/math]、質量を [math]{ M }[/math] 、慣性モーメントを [math]kM{ a }^{ 2 }[/math] とし、 さらに [math]{ x }[/math] >0 の領域での、球と床の間の動摩擦系数をμ、転がり摩擦を0として次の問に答えよ。 

問1 時刻 [math]{ t }[/math] における 球の並進速度を [math]{ v }[/math] 、回転の角速度をωとして、時刻 [math]{ t }[/math] が0< [math]{ t }[/math] < [math]{ t }_{1}[/math] における球の運動方程式を求めよ。 

問2  [math]{ t }_{1}[/math] の値を求めよ。

問3 球が、滑ることなく転がるまでに失った力学的エネルギーの大きさを求めよ。

解答および解説  

(問1) 球に働く水平方向に力は、球の進行方向と逆向きに働く摩擦力 [math] \mu Mg [/math]  であるから、(1)並進運動および(2)回転運動の運動方程式は、それぞれ、

(1)並進運動の運動方程式は [math]M\dot { v } =-\mu Mg[/math] であるから、簡単に [math]\dot { v } =-\mu g[/math] となる。

(2)回転運動の運動方程式は:[math]kM{ a }^{ 2 }\dot { \omega } =\mu Mga[/math] だから [math]\dot { \omega } =\frac { \mu g }{ ak } [/math] となる。

(1)は並進速度が一定の割合で減少することを示し、(2)は角速度が0から一定の割合で増加することを示している。

(問2) 初期条件を考慮して(1)および(2)を時間で積分すると、

(3)並進速度: [math]v={ v }_{ 0 }-\mu gt[/math]

(4)角速度: [math]\omega =\frac { \mu g }{ ak } t[/math]  

となる。滑らない条件 [math]v=a\omega [/math] が成り立つ時刻が [math]{ t }_{1}[/math] であるから、(3)と(4)から [math]{ t }_{1}[/math] を求めると、

(5)  [math]{ t }_{ 1 }=\frac { k }{ \left( 1+k \right) \mu g } { v }_{ 0 }[/math]

(問3) 時刻0における球の力学的エネルギー[math]{ E }_{ 0 }[/math]は

[math]{ E }_{ 0 }=\frac { 1 }{ 2 } M{ v }_{ 0 }^{ 2 }[/math]

(3)と(5)および(4)と(5)から、時刻 [math]{ t }_{1}[/math] 以後の速度[math]{ v }_{ 1 }[/math]および角速度 [math]{ \omega }_{ 1 }[/math] は、それぞれ、

[math]{ v }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 1+k } { v }_{ 0 }[/math]

[math]{ \omega }_{ 1 }=\frac { 1 }{ \left( 1+k \right) a } { v }_{ 0 }[/math]

となる。よって 、 [math]{ t }_{1}[/math] における球の並進運動のエネルギー:[math]{ E }_{ G }\left( { t }_{ 1 } \right) [/math] 、および回転の運動エネルギー:[math]{ E }_{ R }\left( { t }_{ 1 } \right) [/math] は、それぞれ、

(6) [math]{ E }_{ G }\left( { t }_{ 1 } \right) =\frac { 1 }{ { \left( 1+k \right) }^{ 2 } } { E }_{ 0 }[/math]

(7) [math]{ E }_{ R }\left( { t }_{ 1 } \right) =\frac { k }{ { \left( 1+k \right) }^{ 2 } } { E }_{ 0 }[/math]

 力学的エネルギー:[math]E\left( { t }_{ 1 } \right) [/math] は (6)と(7)より、 [math]E\left( { t }_{ 1 } \right) =\frac { 1 }{ 1+k } { E }_{ 0 }[/math]

 よって、球が滑らずに転がるまでに失う力学的エネルギーは、 [math]\frac { k }{ 1+k } { E }_{ 0 }[/math]  となり、動摩擦係数μに依存しないことがわかる。さらに、これまでの議論は物体が球(k=2/5)の場合だけでなく、円柱(k=1/2)の場合も円筒(k=1)の場合にも成り立つ。球の場合は最初のエネルギーの2/7が失われ、円柱や円盤では1/3、円筒では1/2が失われる。

問3の別解

 時刻が0から [math]{ t }_{1}[/math] までに球が移動した距離Lおよび球が回転した角度Θは、それぞれ、(3)の並進速度および(4)の角速度から求められる。摩擦力FμM[math]{g}[/math]は一定だから、摩擦力が並進運動にした仕事: [math]{ W }_{G}[/math] 、および、回転運動にした仕事: [math]{ W }_{R}[/math] をそれぞれ、 [math]{ W }_{G}[/math] =-FL および [math]{ W }_{R}[/math] = [math]{a}[/math] FΘ と計算し、並進運動および回転運動のエネルギーを求めても同じ結果となる。

 Lは球の移動距離、 [math]{a}[/math] Θは球が転がった距離だから、 S=L- [math]{a}[/math] Θ は滑った距離だから、生じる摩擦熱は、QFS となり、その値は力学的エネルギーの損失と等しくなる。

蛇足ながら

 「ローラー引きの力学」では、摩擦力はローラーの並進運動に負の仕事をし、回転運動に正の仕事をしたが、この問題も、摩擦力は、球の並進運動と回転運動に、それぞれ、負と正の仕事をしている。ローラーの問題では、ローラーは滑らないので負と正の仕事が打ち消し合うのに対し、今回の問題は球が滑りながら転がっているので打ち消し合わない。どちらの場合も、動かない地面や床がローラーや球に及ぼす摩擦力によって回転のエネルギーが増す。力が物体の並進運動にする仕事は、力×物体の移動距離であり、回転運動にする仕事は、力のモーメント×回転した角度である。 

類題

  [math]{v}_{ 0 }={0}[/math] で 、回転の初期角速度を [math]{ \omega }_{ 0 }[/math] と与えた場合はどうなるだろうか。

 

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