図1のように円に内接する四辺形ABCDの四つの辺の長さ、AB、BC、CD、DAと二つの対角線の長さ、AC、BDの間に成り立つ、トレミーの定理と呼ばれる等式：
AB×CD+AD×BC ＝AC×BD (1)
がある。前回は、これを初等幾何学で証明したが、その方法は計算が少々面倒であった。
ところが（1）式をよくよく眺めていると、面白いことに気づく。
（1）式のなかで辺や対角線の長さ、例えば、対角線ACを二つの数AとCの引き算に置き換えると、つまり、AC→A－C、他も同様にBD→B－D、AB→A－B 等と置き換えると、（1）式は、
(A－B)×(C－D)+(A－D)×(B－C)=(A－C)×(B－D) （2）
となる。（2）の両辺を展開して比較すると、（2）式は恒等式であることがわかる。もちろん、それだけでは、トレミーの定理を証明したことにはならない。しかし、このことからトレミーの定理の証明には複素解析の手法が有効のように思える。
複素数は、その絶対値と偏角が与えられれば、一意的に決まる。つまり、任意の複素数Pはその絶対値｜P｜と偏角θを用いて次のように表わすことができる。
P＝｜P｜eiθ
図1の円を複素平面上の原点を中心とする単位円とすると、円周上の複素数、A、B、C、Dの絶対値は1であるから、A、B、C、Dは、それぞれの偏角、θA、 θB、 θC、 θDが与えられれば決まる。（2）式の左辺の最初の項、複素数(A-B)×(C-D)について考えよう。
図2を用いて、まず、複素数A-Bがどう表わされるかを知りたいが、その前に複素数A+Bを考えると、その絶対値は｜A+B｜であり、その偏角は、図2より、Aの偏角θAとBの偏角θBとの平均だから(θA+θB)/2となる。
次に複素数A-Bは、複素平面上で、複素数A+Bと直交しているので、複素数A-Bの絶対値は、｜A-B｜であるが、その偏角はA+Bの偏角よりπ/2だけ小さいので、(θA+θB-π)/2となる。複素数C-Dについても同様である。
さらに二つの複素数の積（A-B）×（C-D)の絶対値は｜A-B｜×｜C-D｜であり、偏角のほうは、A-Bの偏角とC-Dの偏角との和であるから、(θA+θB+θC+θD)/2-πとなる。同様に複素数(A-D)×(B-C)および右辺の(A-C)×(B-D)もその偏角は(A-B)×(C-D)の偏角と等しい。
よつて、四つの複素数、A,B,C,Dが単位円の円周上にあれば、式（2）のなかの三つの複素数、（A-B)×（C-D)、（A-D)×（B-C)および、（A-C)×（B-D)の偏角はどれも等しいので、絶対値だけの間の関係式
｜A-B｜×｜C-D｜+｜A-D｜×｜B-C｜＝｜A-C｜×｜B-D｜
が得られる。これはトレミーの定理、（1）式に他ならない。（証明終わり）
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