長崎発「トンデモ説」の逆襲

     図1 円柱の転がり運動

 図1のように、半径r、質量M、慣性モーメントIの円柱の重心Gに、質量の無視できる取っ手を付け、それを水平方向に外力Tを加え引っ張ったとき、円柱が机の上を滑らずに転がる運動を考えてみよう。このとき円柱に働く水平方向の外力は、Tと、机との接点において机から受ける後ろ向きの水平抗力Fである。円柱は滑らないので、Fは机から受ける静止摩擦力であり、その作用点は動かない。

 円柱の転がり運動を並進運動と重心のまわりの回転運動とに分解すると、運動方程式は、それぞれ、次のように表すことができる。

   TF=M(dv/dt)     (1)

    rF=I(dω/dt)       (2)

 ここで、v およびωはそれぞれ、並進運動の速度および回転運動の角速度であり、円柱がすべらない場合には、v=なる条件が加わる。(1)式は並進運動に対する運動方程式であり、(2)式は回転運動に対する運動方程式であり、(1)と(2)からなる連立方程式のなかには、円柱の運動に関する次の①~⑥の全ての情報が含まれていなければならない。

①水平抗力Fの大きさ
②円柱の運動量
③円柱の角運動量
④円柱の並進運動のエネルギー
⑤円柱の回転運動のエネルギー
⑥円柱の全体運動のエネルギー

①については、円柱の場合、その中心軸のまわりの慣性モーメントはIMr2/2から、(1)と(2)式から、FT/3となる。②については、(1)式を時間tで積分すれば、左辺(TF)の時間積分、つまり、力積が円柱の運動量Mvの増し高⊿(Mv)に等しくなる。T=0であれば、Fも0になり、Mvは一定となり、運動量保存則が成り立つ。③についても(2)式を積分すれば、力積のモーメントが角運動量の増し分に等しくなることが分かる。

 ④と⑤のエネルギーについては、それぞれ、(1)および(2)の左辺の力および力のモーメントがする仕事を求めればよい。それには、(1)の両辺に重心の変位dxG=vdt を掛け、(2)の両辺に回転角の変化dθ=ωdtを掛け、それぞれの右辺を変形すれば、次の式のように、それぞれ求められる。  

    (TF)dxG=d(Mv2/2)     (3)

    Fdx=d(2/2)      (4)

(3)式から並進運動のエネルギーは、 Mv2/2 であり、(4)式から回転運動のエネルギーは 2/2 であることが分かる。(3)と(4)式は、二つの運動が、それぞれのエネルギーを得るには、外部の動力源が円柱に及ぼす力Tが並進運動に仕事をし、水平抗力Fが並進運動に負の仕事をすると同時に回転運動に正の仕事をすることが分かる。(3)と(4)を加えると

   TdxG=d(Mv2/2+2/2)    (5)

となり、結果的に、円柱の全体運動、つまり、転がり運動に対してしては、水平抗力Fは仕事をせず、外部の動力源が円柱に及ぼす力Tのみが仕事をすることを示している。これで円柱の転がり運動に関する①~⑥の物理量はすべて(1)と(2)式から導かれることが証明できた。この解法を解法Ⅰと呼ぶことにしよう。

 解法1は運動方程式に基づいた極めて素直で常識的で当たり前の解法に思えるが、40年前にアメリカで発表された論文(今後これをPseudowork論文と呼ぶことにする):Am.J.Phys.Vol.51(1983)によれば、解法Ⅰは間違いだという。その理由は、真の仕事は力と力の作用点の変位として定義され、(3)式の左辺は、作用点が動かない力Fを含むから真の仕事でなく、仕事に似て仕事でないpseudoworkだからだという。それなら、(4)式の左辺も同じ理由でpseudoworkになろう。しかし、上記論文はそのことに触れていない。

 仕事の定義は物理法則ではないが、物理法則に基づいて定義されなければならない。(3)式の左辺の仕事は、並進運動の運動運動方程式(1)に基づいて定義された並進運動に対する仕事であり、(1)式は抗力Fと外部の動力源から受ける外力Tとを区別していない。さらに(3)式はその仕事が円柱の並進運動のエネルギーの増し分に等しいことを示している。同様に(4)式の左辺の仕事は、回転運動に対する運動方程式(2)に基づいて定義された回転運動に対する仕事である。(3)と(4)式を加えて得られる(5)式の左辺の仕事はエネルギー保存則に基づいて定義された円柱の全体運動にTがする仕事である。どの仕事も物理法則に基づき、力学的に明確な意味のある仕事であり、pseudoworkなどではない。

 pseudowork論文は、仕事には、pseudoworkとreal workとが存在し、(3)式を前者の仕事とし、(5)式を後者の仕事だとしているが、それはニュートン力学に対する根拠のない「言いがかり」としか思えない。カンダタは、運動方程式からは説明できない仕事に似て仕事でない、摩訶不思議な仕事によって蜘蛛の糸を登ったのだろうか。

 抗力が仕事をする場合、必ず正と負の仕事が一対として現れるので、抗力が仕事をしても不都合なことは一切起こらないが、抗力のする仕事がどうしても嫌なら、苦肉の策として運動方程式(1)と(2)式から先にFを消去すると、

     rT=(I+Mr2)(dω/dt)    (6)

となる。抗力を含まない(6)式に基づいた解法を解法Ⅱとしよう。(6)式は、回転運動の運動方程式の形をしているが、Fを消去しているために、もはや、図1の運動に対する運動方程式ではなく、(1)と(2)式からなる運動方程式に含まれていた情報が失われている。残っている情報は⑥の全体運動のエネルギーに関する情報だけである。

 全体のエネルギーについて議論する限り、Fをどの段階で消去しても関係ないが、(6)式は、回転軸のまわりの慣性モーメントが I+Mr2 の剛体に力のモーメントrTが働いて回転する場合の運動方程式と同じである。円柱が中心軸のまわりに回転しているのではなく円柱と机との接点のまわりに円柱が回転していると見なせば、そのときの慣性モーメントは I+Mr2 であり、(6)式の両辺にdθωdtを掛けると、同じ(5)式が得られる。

 

  図2 固定軸のまわりの回転

 抗力のする仕事を考えなくても、外部の動力源が及ぼす力Tの仕事だけで系の全エネルギー⑥が説明できた! しかし、それは糠喜びである。(6)式を時間で積分すると、図2のように摩擦のない台の上で円盤が、円周上の一点をとおり円盤に垂直な軸を固定軸とした回転運動の角運動量となってしまう。解法Ⅱは、先にFを消去したために、円柱の運動が図1から図2にすり替わっている。解法Ⅱは図2のような固定軸のまわりの回転のエネルギーを説明しただけである。

図3 自転車に働く外力

 次に図3のように、エネルギーを供給する動力源が系の内部に存在する場合を考えてみよう。自転車に乗って加速するとき、人と自転車からなる系に働く水平方向の外力は、自転車の後輪に道路から進行方向に働く抗力Fと、前輪に後ろ向きに働く抗力fだけである。人を含めた自転車の並進運動に仕事をしたのは何だろうか。

 エネルギー源は人であり、人の筋力は内力だから系の並進運動に直接仕事をすることはできないが、後輪の回転運動に対しては、ペダルとチェーンを通して、後輪の回転運動に右回りの力のモーメントとして働き、回転運動に仕事をする。しかし、いくらペダルを踏んでも、抗力Fが働かなければ、後輪が回転するだけで、並進運動は加速されない。加速するには、抗力Fが後輪の回転運動に負の仕事をし、同時に並進運動に正の仕事をしなければならない。

 抗力Fの正の仕事により、系の並進運動が加速されると、前輪には後ろ向きに抗力fが働き、fは並進運動に負の仕事をして、前輪の回転運動に正の仕事をする。この場合、二つの抗力Ff 以外に水平方向の外力は存在しないので、外部からのエネルギーの流入はない。系のすべてのエネルギーは人の筋力が後輪に仕事をすることによって供給されたエネルギーである。

 宇宙飛行士になったカンダタが宇宙船の壁を押せば、カンダタの手は壁から抗力を受け押し返されるが、その抗力はカンダタがが手を伸ばすという変形運動に負の仕事をして、並進運動に正の仕事をすることによって、カンダタは並進運動のエネルギーを得ることができる。カンダタに運動量を与えたのも並進運動のエネルギーを与えたのも、カンダタに働く唯一の外力である壁からの抗力である。

 カンダタが宇宙船の壁を押す腕をバネとみなせば、バネが伸びることによって腕以外の体が後ろ向きの力を受けて動くという説明もできよう。しかし、カンダタの並進運動とはカンダタの腕も含めたカンダタ全体の並進運動でなければならない。腕の質量を無視できる場合の近似にすぎない。

 それでもバネモデルを主張するなら、蜘蛛の糸の話のさらなる続きを創る必要がありそうである。一説によれば、数々の悪業を重ねたうえ、いまだ、唯我独尊、自己虫のカンダタは、餓鬼道や畜生道などでは手ぬるいと、彼に一番相応しい虫ケラ道に落とされ尺取虫になったという。体全体をバネのように変形させながら地面を這いまわる羽目となったが、その運動を質量のないバネで近似することはできない。ニュートンの運動法則に忠実でなければどこかに綻びが生じる。

 カンダタの運動を説明するために、いろいろと技巧に走るよりも、素直に、ニュートンの運動法則に基づいた解法が最も自然である。運動方程式は抗力を他の外力と区別していない。抗力のする仕事を否定していない。抗力は一切仕事をしないとする誤った先入観から脱却できたとき、力学教育は40年来の混乱から抜け出すことができよう。

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