大学院入試問題研究4

Ｔ大学理学系大学院入試過去問より

　ある時刻 $t=0$ に直交座標系(x,y,z)の原点(0,0,0)を通過したボールが一定の速度で大気中のを落下するときの運動について考える。大気は平均的には無風であり、鉛直風は無いが、水平風には、平均値が0で統計的特性が高さによらず一様な揺らぎがあるとする。

　一見、難しそうだが、この大学の問題は説明文が長いので、むしろ解りやすい。ここは諦めずに我慢のしどころ、続きを読もう。

　このボールの中心が、hだけ落下して平面z=－h上の1点(x,y,－h)を通過する確率密度 ${ P }_{ 1 }\left( x,y \right)$ はこの平面上の点(0,0,－h)からの距離rのみに依存し、 $C{ e }^{ -{ r }^{ 2 } }$ （Ｃは実定数）で与えられるという。このボールの運動に関連して以下の問いの答えよ。ただし、 $r=\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }$ 、また正の実数 $a$ について、次の関係式①が成り立つことを利用してよい。

①

問1.　任意の正の整数nについて、

②

　が成り立つことを証明せよ。

問1の解法:　数学的帰納法を用いる。①式を $a$ の関数とみなし、両辺を $a$ で微分すると、②のn=1の場合になる。あとは、n=kのとき、②が成り立つとすれば、n=k+1のときも成り立つことを示せばよい。尚、この問題では必要ないが、①式の証明はガウス関数の積分を参照のこと。

問2.　確率密度 ${ P }_{ 1 }\left( x,y \right)$ を平面z＝－h全体に亘って面積分したものは1に等しいことに注意して ${ P }_{ 1 }\left( x,y \right)$ に現れる定数Cの値を求めよ。

問2の解法:　確率密度 ${ P }_{ 1 }\left( x,y \right) =C{ e }^{ -\left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }$ をxとyで二重積分すると、①より、その値はCπとなり、それは1に等しいからＣ＝1/π

問3.　平面z=－h上の点 $\left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 },-h \right)$ を通過したボールが、平面z=－2h上の点 $\left( x,y,-2h \right)$ を通過する確率密度は、点 $\left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 },-h \right)$ を新たな原点と見なしたときにhだけ落下するボールの運動による確率密度と考えることができる。原点(0,0,0)を通過したボールの中心が、平面z=－2h上の1点 $\left( x,y,-2h \right)$ を通過する確率密度 ${ P }_{ 2 }\left( x,y \right)$ を求めよ。

　　問3の解法：題意より、 ${ P }_{ 2 }\left( x,y \right) =\iint { { P }_{ 1 } } \left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 } \right) { P }_{ 1 }\left( { x }_{ 1 }-x,{ y }_{ 1 }-y \right) d{ x }_{ 1 }d{ y }_{ 1 }$ と表せる。よつて、 ${ P }_{ 2 }\left( x,y \right) =\frac { 1 }{ 2\pi } { e }^{ -\frac { 1 }{ 2 } \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }$

問4.　原点(0,0,0)を通過したボールの中心が、平面z=-nh上の1点(x,y,－nh)を通過する確率密度 ${ P }_{n }\left( x,y \right)$ の表現を推定し、推定された表現が正しいことを数学的帰納法により証明せよ。

　問4の解法：　 ${ P }_{3 }\left( x,y \right)$ まで求めれば推定できよう。 ${ P }_{ 3 }\left( x,y \right) =\iint { { P }_{ 2 } } \left( { x }_{ 2 },{ y }_{ 2 } \right) { P }_{ 1 }\left( { x }_{ 2 }-x,{ y }_{ 2 }-y \right) d{ x }_{ 2 }d{ y }_{ 2 }$ これから、 ${ P }_{ 3 }\left( x,y \right) =\frac { 1 }{ 3\pi } { e }^{ -\frac { 1 }{ 3 } \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }$ となり、 ${ P }_{ n }\left( x,y \right) =\frac { 1 }{ n\pi } { e }^{ -\frac { 1 }{ n } \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }$ と推定できよう。あとは数学的帰納法で証明するのも簡単であろう。

問5.　原点（0,0,0）を通過したボールが平面z=-nh上を通過するとき、点（0,0,-nh)から距離rの点を通過すると、点数として ${ r }^{ 3 }$ 点が獲得できると言うゲームをした場合、このゲームで得られる点数の期待値は何点になるかを求めよ。

　問5の解法：　パチンコやスマートボールを連想させる問題だが、題意を理解すれば、さほど難しくはないだろう。点数の期待値をＮとすれば、問4の結果から、 $N=\frac { 1 }{ n\pi } \iint { { r }^{ 3 } } { e }^{ -\frac { 1 }{ n } \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }dxdy$ となる。極座標に変数変換すると、 $N=\frac { 2 }{ n } \int _{ 0 }^{ \infty }{ { r }^{ 4 } } { e }^{ -\frac { { r }^{ 2 } }{ n } }dr$ となるので、問1の公式②を使って計算できる。ただし、積分範囲に注意すること。