フーリェ解析3

数学

2018.10.18

　－πからπの範囲で定義された関数 $f\left( x \right)$ は(1-6)式のようにフーリェ級数に展開できる。(1-6）に $x$ → $x$ +2π と置き換えてても、右辺の級数に変化はないので、左辺の関数 $f\left( x \right)$ が周期2πを持つ関数なら、 $x$ の全領域に亘って $f\left( x \right)$ はフーリェ級数に展開できることになる。それでは任意の周期を持つ関数はどのように級数展開できるだろうか。
周期2Lを持つ関数のフーリェ級数展開
　関数 $f\left( x \right)$ が周期 $2L$ を持つとすると、 $f\left( x+2L \right) =f\left( x \right)$ である。
ここで、変数変換 $x=Lv/\pi$ をすると、
$f\left( x \right) =f\left( \cfrac { L }{ \pi } v \right)$
であるから、これを $v$ の関数として $g\left( v \right)$ とすれば、
$g\left( v+2\pi \right) =f\left( \cfrac { L }{ \pi } v+2L \right) =f\left( \cfrac { L }{ \pi } v \right) =g\left( v \right)$
よつて、 $g\left( v \right)$ は周期2πを持つ関数である。
　周期2πを持つ $v$ の関数 $g\left( v \right)$ フーリェ級数展開し、変数をもとの $x$ に戻せば、周期 $2L$ を持つ関数 $f\left( x \right)$ は次のようにフーリェ級数に展開できる。
$f\left( x \right) =\cfrac { { a }_{ 0 } }{ 2 } +\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \left( { a }_{ n }\cos { \cfrac { n\pi x }{ L } +{ b }_{ n }\sin { \cfrac { n\pi x }{ L } } } \right) } \quad \quad \quad \left( 3-1 \right)$
　 ${ a }_{ 0 }=\cfrac { 1 }{ L } \int _{ -L }^{ L }{ f\left( x \right) dx\quad \quad \quad \quad \left( 3-2 \right) }$
　 ${ a }_{ n }=\cfrac { 1 }{ L } \int _{ -L }^{ L }{ f\left( x \right) \cos { \cfrac { n\pi x }{ L } } dx\quad \quad \quad \quad \left( 3-3 \right) }$
　 ${ b }_{ n }=\cfrac { 1 }{ L } \int _{ -L }^{ L }{ f\left( x \right) \sin { \cfrac { n\pi x }{ L } } dx\quad \quad \quad \quad \left( 3-4 \right) }$ 　