Ｔ大学理学系大学院入試過去問より
ある時刻[math]t=0[/math]に直交座標系(x,y,z)の原点(0,0,0)を通過したボールが一定の速度で大気中のを落下するときの運動について考える。大気は平均的には無風であり、鉛直風は無いが、水平風には、平均値が0で統計的特性が高さによらず一様な揺らぎがあるとする。
一見、難しそうだが、この大学の問題は説明文が長いので、むしろ解りやすい。ここは諦めずに我慢のしどころ、続きを読もう。
このボールの中心が、hだけ落下して平面z=－h上の1点(x,y,－h)を通過する確率密度[math]{ P }_{ 1 }\left( x,y \right)[/math]はこの平面上の点(0,0,－h)からの距離rのみに依存し、[math]C{ e }^{ -{ r }^{ 2 } }[/math]（Ｃは実定数）で与えられるという。このボールの運動に関連して以下の問いの答えよ。ただし、[math]r=\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }[/math]、また正の実数[math]a[/math]について、次の関係式①が成り立つことを利用してよい。
[math]\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -a{ x }^{ 2 } } } dx=\sqrt { \frac { \pi }{ a } } [/math] ①
問1. 任意の正の整数nについて、
[math]\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -a{ x }^{ 2 } } } { x }^{ 2n }dx=\frac { 1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot \left( 2n-1 \right) }{ { 2 }^{ n } } \sqrt { \frac { \pi }{ { a }^{ 2n+1 } } }[/math] ②
が成り立つことを証明せよ。
問1の解法: 数学的帰納法を用いる。①式を[math]a[/math]の関数とみなし、両辺を[math]a[/math]で微分すると、②のn=1の場合になる。あとは、n=kのとき、②が成り立つとすれば、n=k+1のときも成り立つことを示せばよい。尚、この問題では必要ないが、①式の証明はガウス関数の積分を参照のこと。
問2. 確率密度[math]{ P }_{ 1 }\left( x,y \right)[/math]を平面z＝－h全体に亘って面積分したものは1に等しいことに注意して [math]{ P }_{ 1 }\left( x,y \right)[/math]に現れる定数Cの値を求めよ。
問2の解法: 確率密度[math]{ P }_{ 1 }\left( x,y \right) =C{ e }^{ -\left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }[/math]をxとyで二重積分すると、①より、その値はCπとなり、それは1に等しいからＣ＝1/π
問3. 平面z=－h上の点[math]\left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 },-h \right)[/math]を通過したボールが、平面z=－2h上の点[math]\left( x,y,-2h \right)[/math]を通過する確率密度は、点[math]\left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 },-h \right)[/math]を新たな原点と見なしたときにhだけ落下するボールの運動による確率密度と考えることができる。原点(0,0,0)を通過したボールの中心が、平面z=－2h上の1点[math]\left( x,y,-2h \right)[/math]を通過する確率密度[math]{ P }_{ 2 }\left( x,y \right)[/math]を求めよ。
問3の解法：題意より、[math]{ P }_{ 2 }\left( x,y \right) =\iint { { P }_{ 1 } } \left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 } \right) { P }_{ 1 }\left( { x }_{ 1 }-x,{ y }_{ 1 }-y \right) d{ x }_{ 1 }d{ y }_{ 1 }[/math]と表せる。よつて、[math]{ P }_{ 2 }\left( x,y \right) =\frac { 1 }{ 2\pi } { e }^{ -\frac { 1 }{ 2 } \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }[/math]
問4. 原点(0,0,0)を通過したボールの中心が、平面z=-nh上の1点(x,y,－nh)を通過する確率密度[math]{ P }_{n }\left( x,y \right)[/math]の表現を推定し、推定された表現が正しいことを数学的帰納法により証明せよ。
問4の解法： [math]{ P }_{3 }\left( x,y \right)[/math]まで求めれば推定できよう。[math]{ P }_{ 3 }\left( x,y \right) =\iint { { P }_{ 2 } } \left( { x }_{ 2 },{ y }_{ 2 } \right) { P }_{ 1 }\left( { x }_{ 2 }-x,{ y }_{ 2 }-y \right) d{ x }_{ 2 }d{ y }_{ 2 }[/math] これから、[math]{ P }_{ 3 }\left( x,y \right) =\frac { 1 }{ 3\pi } { e }^{ -\frac { 1 }{ 3 } \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }[/math]となり、 [math]{ P }_{ n }\left( x,y \right) =\frac { 1 }{ n\pi } { e }^{ -\frac { 1 }{ n } \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }[/math] と推定できよう。あとは数学的帰納法で証明するのも簡単であろう。
問5. 原点（0,0,0）を通過したボールが平面z=-nh上を通過するとき、点（0,0,-nh)から距離rの点を通過すると、点数として[math]{ r }^{ 3 }[/math]点が獲得できると言うゲームをした場合、このゲームで得られる点数の期待値は何点になるかを求めよ。
問5の解法： パチンコやスマートボールを連想させる問題だが、題意を理解すれば、さほど難しくはないだろう。点数の期待値をＮとすれば、問4の結果から、[math]N=\frac { 1 }{ n\pi } \iint { { r }^{ 3 } } { e }^{ -\frac { 1 }{ n } \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }dxdy[/math]となる。極座標に変数変換すると、[math]N=\frac { 2 }{ n } \int _{ 0 }^{ \infty }{ { r }^{ 4 } } { e }^{ -\frac { { r }^{ 2 } }{ n } }dr[/math]となるので、問1の公式②を使って計算できる。ただし、積分範囲に注意すること。
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