フーリェ解析2

ベクトルと関数
　3次元空間の互いに直交する三つのベクトルがあり、それを[math]{ \vec { A } }_{ 1 }[/math]、[math]{ \vec { A } }_{ 2 }[/math]、[math]{ \vec { A } }_{ 3 }[/math]としよう。この三つのベクトルで張られる空間の任意のベクトル[math]{ \vec { X } }[/math]は、三つのベクトルで展開できる。
　[math]{ \vec { X } }={ \alpha }_{ 1 }{ \vec { A } }_{ 1 }+{ \alpha }_{ 2 }{ \vec { A } }_{ 2 }+{ \alpha }_{ 3 }{ \vec { A } }_{ 3 }\quad \quad \quad \left( 2-1 \right) [/math]
両辺と[math]{ \vec { A } }_{ 1 }[/math]との内積をとると、
　　[math]{ \vec { X } \cdot { \vec { A } }_{ 1 } }={ \alpha }_{ 1 }{ \vec { A } }_{ 1 }\cdot { \vec { A } }_{ 1 }+{ \alpha }_{ 2 }{ \vec { A } }_{ 2 }\cdot { \vec { A } }_{ 1 }+{ \alpha }_{ 3 }{ \vec { A } }_{ 3 }\cdot { \vec { A } }_{ 1 }[/math]
　右辺の第２項および第３項は直交関係から0となる。よつて、
　　[math]\alpha _{ 1 }=\cfrac { \vec { X } \cdot \vec { { A }_{ 1 } } }{ \vec { { A }_{ 1 } } \cdot \vec { { A }_{ 1 } } } [/math]
となる。同様に、他の展開係数も
　　　[math]\alpha _{ 2 }=\cfrac { \vec { X } \cdot \vec { { A }_{ 2 } } }{ \vec { { A }_{ 2 } } \cdot \vec { { A }_{ 2 } } } [/math]
　　　[math]\alpha _{ 3 }=\cfrac { \vec { X } \cdot \vec { { A }_{ 3 } } }{ \vec { { A }_{ 3 } } \cdot \vec { { A }_{ 3 } } } [/math]
となる。ベクトル　[math]\vec { X } [/math]と[math]\vec { X } [/math]自身の内積をとると、（2-1）より、
　　[math]\vec { X } \cdot \vec { X } ={ \alpha }_{ 1 }^{ 2 }\vec { { A }_{ 1 } } \cdot \vec { { A }_{ 1 } } +{ \alpha }_{ 2 }^{ 2 }\vec { { A }_{ 2 } } \cdot \vec { { A }_{ 2 } } +{ \alpha }_{ 3 }^{ 2 }\vec { { A }_{ 3 } } \cdot \vec { { A }_{ 3 } } \quad \quad \quad \left( 2-2 \right) [/math]
となる。
パーセバルの恒等式
　関数は無限次元のベクトルと考えることができる。ベクトルの展開から、（2-3）式が得られるように、関数のフーリェ級数展開より
　　 [math]\int _{ -\pi }^{ \pi }{ f^{ 2 }\left( x \right) } dx=\cfrac { { a }_{ 0 }^{ 2 }\pi }{ 2 } +\pi \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \left( { a }_{ n }^{ 2 }+{ b }_{ n }^{ 2 } \right) } \quad \quad \quad \quad \quad \left( 2-3 \right) [/math]
が得られる。（2－3）をパーセバルの恒等式と呼ぶ。
課題
フーリェ解析1における例題にパーセバルの恒等式を適用することによつて、次の式が成り立つことを示せ。
[math]1+\cfrac { 1 }{ { 3 }^{ 2 } } +\cfrac { 1 }{ { 5 }^{ 2 } } +\cdot \cdot \cdot +\cfrac { 1 }{ \left( 2n-1 \right) ^{ 2 } } +\cdot \cdot \cdot =\cfrac { \pi ^{ 2 } }{ 8 } [/math]