力学における仕事の定義

 仕事は初等力学にとって極めて基本的な概念だが、教科書や辞典にはどのように定義されているだろうか。高校の物理教科書には次のように定義されている。

 物理では、物体に力を加えてその物体を移動させたとき、力は「仕事」をしたという。一直線上で物体に一定の大きさの力をはたらかせて、その力の向きに距離だけ動かすとき、Fxをその力の仕事、または、力を及ぼしたものが物体にした仕事という。[第一学習社:物理基礎]

 他の出版社の高校教科書も同様な定義であり、岩波書店の広辞苑(第4版)にも、仕事について次のように記述されている。

 力が働いて物体が移動した時に、物体の移動した向きの力と移動した距離との積を、力が物体になした仕事という。単位はジュール[J]。

 物体の位置は、物体の重心座標で決定されるので、物体の移動した距離とは、物体の重心の移動距離だから、仕事とは、物体に働いた力と重心の移動距離との内積になる。

 一方、広辞苑と同じく岩波書店から発行されている理化学辞典(第3版)では、仕事について次のように記述されている。

 力学系に力Fが作用し作用点がdrだけ変位するとき、スカラー積(F,dr)を、その力が力学系になした仕事という。

 理化学辞典では、仕事は、力と、その力の作用点が移動した距離との内積である。

 簡単のため、高校教科書や広辞苑における仕事の定義を定義A、理化学辞典の定義を定義を定義Bと呼ぶことにしよう。定義Aと定義Bとの違いは、力との内積の相手が、物体の移動距離か、力の作用点の変位かの違いであるが、両者が等しくなるのは、仕事の対象が質点であるか、あるいは質点とみなせる場合だけである。

 定義Aは物体が質点の場合に限定しているのだろうか。しかし、それなら、初めから「物体」を「質点」と書けば済むことである。言葉を定義する意義は、他と明確に区別することによって無用な混乱を避けるためである。物体と書けば、質点も力学系も含む物体一般を意味することは力学以前の問題であろう。

 定義Aおよび定義Bによって定義された仕事をそれぞれ仕事Aおよび仕事Bとすれば、物体一般に対しては、仕事Aと仕事Bは互いに異なる仕事である。物体に外部から抗力が働く場合、抗力はその作用点が動かないので仕事Bをすることはできないが、仕事Aなら可能である。

 仕事Aと仕事Bが異なることは明白であるが、培風館の物理学辞典(三訂版)では、仕事について、次のように記述されている。

 物体に力を加えて、物体が力の向きに移動したとき、力は物体に仕事をしたといい、仕事の量は力と移動距離の積で与えられる。 一般には、力の向きと物体の移動の方向は必ずしも一致しないので、物体または力学系に外力が作用し、作用点がdだけ変位したとき、仕事は両者のスカラー積d=Fdscosθである。

 物理学辞典は、その書き出しでは仕事Aであるが、「一般には」以降の記述では物体の移動距離が、いつのまにか作用点の変位に変えられて、仕事Bになっている。物理学辞典が仕事Aと仕事Bとを併記しているのなら、何の問題もないのだが、前半と後半を通して読むと、仕事Aを一般化すれば仕事Bになるという意にしか取れない。

 物理学辞典の記述は、本質的に異なる仕事Aと仕事Bとを、無理にくっつけ一体化したため、 木に竹を接いだような、意味不明な文章になっている。高校教科書と理化学辞典の仕事の定義を「コピペ」して作ったとしか思えない。

 高校の教科書も大学の教科書も、力学の箇所では、いずれも、仕事Aとして定義されている。つまり、仕事Aは、「物体一般」を「質点」に限定した場合の仕事ではない。物体が回転や変形を伴う複雑な運動をしていても、その並進運動だけを分離でき、その運動方程式は、質点の運動方程式と全く同じになるが、高校でも質点のみを対象にしているのではない。仕事Aは抗力も含めた外力が、物体の並進運動にした仕事であり、並進運動に対するニュートンの運動方程式に則した仕事である。

 仕事Aは、自転車や車が道路を走るときなど、日常の力学では不可欠な仕事であるのに対し、理化学辞典の仕事Bは、外力が物体の全エネルギーにした仕事であり、系の内部エネルギーを扱う熱力学では、必要不可欠な仕事である。高校や大学の教科書も、力学の箇所では仕事Aが定義されているが、系の並進運を考えない熱力学の箇所では、仕事Wは圧力と体積減少の積として、W=-pdvと定義され、これは仕事Bの定義と同じになる。これまで調べた限りでは、仕事について曖昧に記述された書物は、培風館の物理学辞典のほかにはなかった。

  30数年前に発表された‘Psuedowork’[Am.J.Phys.51,597(1983)]に惑わされ、ニュートン力学を捻じ曲げてはいけない。抗力は作用点が動かないので、仕事Bをすることはできないが、 広辞苑のみならず高校や大学の教科書にも記述されている仕事Aをreal workとして認めなければ、 人の筋力やエンジンが駆動輪に仕事をしても、そのエネルギーが、いかにして並進運動に伝わるかの説明が困難になろう。

 筋力やエンジンが駆動輪の回転に仕事をし、道路からの抗力は 駆動輪 の回転に負の仕事をし並進運動に正の仕事をする。

 今こそ、すべての日本国民に問う、仕事とは何かと。仕事の何たるかも知らず、車や自転車で道路を走る日本人の何と多いことか。いやいや、それだけなら、まだよいが、そのときその並進運動に仕事をするのは、運動方程式に現れる道路からの抗力ではなく、やれ、エンジンだの、筋力だのと、挙句の果ては、仕事Aは本当の仕事ではなく、Pseudoworkだのと、口角泡を飛ばしながら訳の分らぬことを叫ぶ物理関係者の何と多いことか。[NHK(長崎放送協会)人気TV番組「ニュートンに叱られる」ナレーター] 

コメント

  1. ニックネーム より:

    ずっと電車はどうして走れるのかを疑問に思っていたところ、検索で先生の
    サイトを見つけ、より深く議論されていたので、楽しく読ませて頂きました
    このことについて、素人考えですが、もやもやしていることがあったので以
    下のようにまとめてみました。駄文、長文、お許し下さい。

    \begin{quote}
    定義Aと定義Bとの違いは、力との内積の相手が、物体の移動距離か、力の作用
    点の変位かの違いであるが、両者が等しくなるのは、仕事の対象が質点である
    か、あるいは質点とみなせる場合だけである。
    \end{quote}

    定義Aには重大な欠陥がある。以下簡単のために、観測者と仕事をされる作用
    点との初期相対速度は固定としておく。(0にするのが分かり易いが、それに
    限らない) すると、定義Bによる仕事は物体のとりかたによらず常に一定の値
    となるが、定義Aによる仕事は、物体をどう定義するかで値が変わる。したがっ
    て、定義 Aで議論する際には、必ず物体も含めて定義する必要がある。

    なにを物体とするか、物体とする範囲(すなわち系)の範囲はは解釈する人が
    計算がしやすいように、自由に決定できる。物体といっているけれども、そ
    れぞれの部分に(一時的、恒久的を問わず)相互作用がなくても構わない。

    たとえば、以下の地球を蹴って、宇宙空間に飛び出す状況について考えてみる。
    (簡単のため、重力は無視しておきます。重力を含めて考えても全く同様の議
    論が可能です。)

    0. 初期状態
    「地球」、「足」、「体」、観測者が、互いに静止しているとする。

    1. 「足」を「地球」にふんばり延ばす
    「地球」 「足」 「体」
    すると、筋力が仕事をする。その結果、以下の2つのことがおこる。
    (1) 「体」が右に加速される
    (2) 「地球+足」が左に加速される

    さて、(2)が問題である
    (2.1) ところで、「地球+足」はくっついて離れないので、それがひとつの
    物体だと思えば、「地球+足」が、筋力の大きさの力を受けて左に加速される。
    「体」は筋力により右に加速される。

    (2.2) いやいや、筋肉はバネみたいなもので、「体」と「足」のあいだに挟
    まっているし、「足」と「地球」はもともとは別の物体なので、一時的に、
    「体」、「足」、「地球」はばらばらで3つの物体だと思うことにする。すると
    「足」は束縛力により右に押され、筋力によって左に押される。束縛力の
    大きさは「地球」と「足」の質量比で筋力を分配した値になるから、
    結局、「足」は(2.1)と同じ加速度で左に加速される。「地球」は束縛力に
    よって左に押されるが、「足」と同様の議論で、結局(2.1)と同じ加速度で
    左に加速される。そもそも、「地球」と「足」の距離が変わらないのだから、
    「地球」と「足」の加速度も同じになり、計算するまでもないのだけれど…

    (2.3) そうではなくて、「足+体」はもともとひとつの物体なので、これを
    物体とみなせば、「地球」は「足+体」に束縛力で押されて左に加速する。
    「足+体」は束縛力で右に押されると同時に、筋力が「体」と「足」の間
    を広げるように加速(変形)させるので、「足+体」系の重心の加速度は、
    「足」の部分の加速度とも「体」の部分の加速度とも異なる。

    ※ここで疑問、「地球」は束縛力により加速されたのだろうか?
    それとも「足」とセットで筋力により加速されたのだろうか?

    3. 「地球-足」の結合を切り離し「足」を「体」に束縛する

    ※ロボットならば、『「足」を「体」から切り離す』でも良くて、その場
    合はこれ以上の計算は不要だし、「地球」の質量が0であっても「体」が
    加速できることになる。

    「地球」 「足」 「体」

    「足」と「体」が非弾性衝突して一体化する。その結果、「足」は加速
    され、「体」は減速されるが、「足+体」の重心の速度は変わらない。む
    ろん、「地球」の速度も変わらない

    4. 「体+足」が宇宙空間に浮かんでいた「アデランス」と合体する
    なんと、実は、この「アデランス」まで含めて最初は一つの物体だったのだ。
    飛び出した最終速度は「アデランス」も含めて計算する必要があったのだ
    (i.e. 「体+足+アデランス」系の重心の速度を求める)。
    このことから、系とは、その要素間に相互作用がなくても構わないことがわかる。

    定義Bでは、仕事された物体がどんな構成だろうが仕事が決まる。
    (たとえば筋力が「体」にする仕事は「体」の作用点の動きしか考えないから)
    すなわち、以下の2パターンの解釈で、筋力が「体」にする仕事は、同じである。

    …-> 「足」 「体」
    …-> 「足」 「体」 「アデランス

    いっぽう、定義Aでは(重心の速度変化に着目するから)、「体」を物体とみ
    なすか、「体+アデランス」を物体をみなすかで筋力がする仕事は異なる。
    もっと具合の悪いことに、アデランスの質量を変えるだけでも系の重心の
    速度は変わるし、「アデランス」以外にももともとと一つの物体とみなす
    べきものはいくらでも思いつくので、それを勝手に決められるのならば、
    重心の速度はそれにつれてころころ変わることになる。定義Aでの仕事の
    値は対象の物体を決めないかぎりひとつに決まらない。 (それが、系を
    自由に決めることができるということ。)

  2. nobuyuki より:

    コメント有難うございます。宇宙飛行士が無重力空間で手足を動かしながら運動する動画があります。飛行士の筋力が仕事をするので、手足が動くのですが、手足を動かすだけで、宇宙船の壁などに触れなければ、飛行士の重心は、第一法則(慣性の法則)によって静止したままか等速度運動をするだけです。重心が静止している状態から動くには、飛行士が宇宙船の壁を押すか引くかしなければなりません。壁から受ける外力がなければ、いくら手足をうごかしても、飛行士の重心はうごきません。つまり、内力は重心運動に仕事をすることはできません。ここで、飛行士と宇宙船を一つの系と考えると、飛行士と壁とのあいだに働く力も内力になるので、系全体の重心は動きません。これは地上で自転車に乗る場合を考えると、車輪と道路との摩擦力がなければ自転車は走れないことと同じことです。摩擦力がなくても、筋力の仕事によって後輪は回転しますが、人と自転車からなる系の重心運動は摩擦力がなければ生じません。重心運動を説明するためには高校教科書に定義されている仕事Aが必要です。

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