水中の物体は物体が押しのけた水の重さだけ軽くなる
中学校で習うアルキメデスの浮力の原理だが、物体が押しのけた水の量が関係するのだから、アルキメデスが、いろんな形状の立体の体積を知っていたことは想像に難くない。しかし、彼は、球の表面積が、大円の面積の４倍になることも知っていたという。微積分学を知っていれば、簡単だが、紀元前３世紀に、どのようにして球の表面積に辿り着いたのだろうか。科学史に疎いが、NHKの人気番組「チコちゃんに叱られる」にあやかり、「たぶん、こうだったんだろう劇場」を考えてみた。
球を考えるまえに、まず、円について考えると、半径ｒの円の円周の長さは２πｒである。これは、円周率π（パイ）の定義でもあるが、アルキメデスは、円に内接する正ｎ角形と外接する正n角形の長さを、その角数nを増やしながら求めることにより、円周率の値を3桁の精度で3.14と求めていたという。図１のように円に内接する正ｎ角形を二等辺三角形に切り分けると、三角形の面積は底辺の長さと高さの積の半分であるから、正ｎ角形の面積は、横と縦の長さが、それぞれ、円周と半径からなる長方形の面積の半分に収束することは図から容易に理解できよう。同じ円に外接する正ｎ角形に対しても同様である。
図１は正８角形の場合であるが、一般に正多角形の角数ｎを増やしていけば、図の長方形の横の長さは円周の長さに限りなく近づき、縦の長さは半径に近づき、その面積は２πｒ２になり、円の面積は、その半分のπｒ２になることが分かる。
円の場合との類推から、球に対しても、浮力の原理を発見したアルキメデスなら、球の体積だけでなく、円錐や角推などの錐の体積も知っていたと考えられるので、球をその中心を頂点とする錐に切り分けて考えたに違いない。
円の場合は同じ形状の多数の二等辺三角形に切り分けることができたが、球を同じ形状の多数の錐に切り分けることはできない。プラトンの多面体定理から正多面体は五種類しか存在しないからである。しかし、錐の体積も底面の形状に関わらず、底面の面積と高さの積の１/3になるので、三角錐や四角錐など、底面の形が異なる錐が混じっていても問題はない。
錐の体積が、どのように表されるかは、図２のような具体例から分かる。立方体は６個の四角錐からなるので、その一つの四角錐の体積は、立方体の体積の1/6であり、右図の升のなかの水は三角錐になるが、その体積も升の容積の1/6である。底辺の形によらず、錐の体積は底面の面積と高さの積の１/３である。
錐の体積が分かれば、球の表面積をSとすると、図１との類推から、S×ｒ÷３＝球の体積となり、球の体積が４πｒ3/3となることを知っていれば、それから逆に球の表面積は、Ｓ＝４πｒ２と求まる！
いやいや、チコちゃん、まだ感心するには早すぎるよ。
体積を知らなくても、直接、球の表面積を求める簡単な方法がある。図３のように球に外接する円柱を考え、球の表面を円柱の側面に投影すると球の表面積は円柱の側面積に等しくなる。なぜそうなるかは、長くなるので、このHPの「球の表面積の直感的な求め方」を参照されたい。アルキメデスはこの方法にも気づいていて、自分の墓に図３と同じ図を書き入れるように遺言したと伝えられている。
凄い！アルキメデスはそこまで見通していたんだね。ところでチコちゃん、表面積を測りたいもの、何かある？ なに？チコちゃんのその頭の表面積！ いや、さすがにそれはアルキメデスにも無理だと思うよ！
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