運動方程式とエネルギー保存則

 初等力学におけるエネルギー保存則は運動方程式から導かれる。極めて当然なことだがそれをあえて示してみよう。

図1 斜面をころがる円柱

 図1のように、傾斜角θの斜面を、質量M、半径α、中心軸の周りの慣性モーメントIの円柱が滑らずに転がるとき、斜面に沿って下方方向を座標xの正方向に選ぶと、転がり運動は、並進と回転の複合運動であるから、その運動方程式は次のように並進と回転の連立運動方程式で表される。

ここで、Fは円柱が斜面から受ける抗力のx方向成分の大きさである。vは円柱の重心が斜面に沿って動く速さ、ωは円柱の回転の角速度である。(1-1)および、(1-2)はそれどれ、円柱の並進運動および回転運動に対する運動方程式であり、円柱のころがり運動は、その運動方程式が、並進と回転の二つの運動方程式からなる連立方程式となる。vωには、円柱が滑らないという条件からvαωの関係がなければならないので、連立方程式の未知数はvまたはωのどちらか一つとFの二つだけだから、連立方程式は、他のいかなる条件を付け加えることなく解ける。あとは数学を用いて解くだけである。

(1-1)を時間で積分すれば、運動量Mv(=P)が求めることができ、(1-2)を時間で積分すれば回転の角運動量(=L)が求められる。PLから、並進運動のエネルギーEも、回転のエネルギーERも、EP/2MEL2/2Iとして求めることができるが、それには、EPERLとの関係式を知っていなければならない。しかし、知らなくても、連立運動方程式(1-1)と(1-2)は、運動量や角運動だけでなく、並進および回転のエネルギーも正しく導くことができる。

(1-1)の両辺に、dx (=vdt)、(1-2)の両辺に、ⅾφ (=ωdt)をかければ、

(2-1)式は抗力Fが並進運動に負の仕事をし、(2-2)式はFが回転運動に正の仕事をしていることを示している。両式は共役であり、加えると抗力のする仕事は消え、

となる。(3)式の左辺は円柱の位置エネルギーの減少あり、右辺は円柱の力学的エネルギーの増し分を表しているので力学的エネルギーの保存則である。以上は、ニュートン力学を素直に適用した結果であるが、この導出法は間違いであるという。まさに青天の霹靂、狐につままれた思いだが、どこが間違いだろうか。

 約40前にアメリカで発表された論文(以下これをPS論文とよぶことにする)によれば、抗力Fは、その作用点が動かないので、仕事をしないにも関わらず、(2-1)および(2-2)式に抗力Fのする仕事を「仮定」していることだという。しかし、ニュートン力学は作用点が動くか動かないかで、力を区別していない。

 PS論文では、仕事には真の仕事と、仕事に似て仕事でない擬の仕事が存在するとして、(3)式の左辺のみが真の仕事であり、(2-1)の左辺は擬の仕事であるとして、運動方程式ではなく、(3)式と(2-1)式をもとに議論を進めている。しかし、(2-1)と(2-2)は共役であり、連立方程式をなすペアとして存在しなければならない。(3)式は(2-1)式と(2-2)式の和であり、(3)式には、すでに、(2‐1)が含まれている。そこに、(2-1)を付け加えれば、ペアを持たない一つの(2-1)式が余る。しかし、孤立した(2-1)式を無視すると並進運動が説明できなくなり、一方、それを、仕事として認めるとエネルギーが余ってしまうというジレンマに陥る。

 連立方程式の片方の式(2-1)を単独の式として扱うという間違いに気づかぬまま、議論を進めたために、(2-1)は力学的な説明ができないが必要な式であるとして、その左辺の仕事は、仕事に似て仕事に非ざる人知の及ばぬ神がかり的な仕事、Pseudworkとして崇めら奉られることになったようである。

 しかし、PS論文の誤りは明白である。もともと、運動方程式は2つの独立な式(1-1)と(1-2)で始まったのに、一つの式を2度カウントしたため、いつも間にか、独立な式が三つになっている。しかし、そのなかの二つは同じ式である。混乱の原因は、PS論文が抗力は仕事をしないという間違った固定観念を前提にしているためニュートン力学に矛盾した結果になっている。

 抗力は仕事をするか、しないか、その問いに判定を下すことができるのは、ニュートン力学以外にはない。間違ったPS論文を判定の基準とする限り、正しい判定はできない。地球は動いているか否か、その判定を天動説に委ねるようなものである。今回の抗力の仕事を巡る騒動は、40年前に提起された力学理論に初歩的なミスが存在することに未だに気付かない「裁判官」による現代の宗教裁判ではないだろうか。何度、再審請求しても、Pseudowork論文を盾にすべて却下!呆れるほかない。

 中学・高校・大学をつなぐ物理教育(図2)、素晴らしい試みであるが、そのためには教える側の我々がそのつながりを理解していなければならない。いろんな可能性を議論するのは必要であるが、高校の仕事の定義は、質点の運動を対象にした初心者向けの定義だとか、物体と書かれているが、質点だと解釈すべきだとか、すでに破綻している怪しげな論文を擁護するために、ひいては抗力のする仕事を否定するために、高校の力学に混乱を持ち込み、いつまでもなりふり構わず、ニュートン力学を捻じ曲げて解釈していては、つなぐ物理教育などおぼつかない。

どうする物理教育!

図2 日本物理教育学会誌表紙

 

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