４つのチームがサッカーの試合をトーナメント形式で行った。４つのチームは、強いチーム、弱いチームそれぞれ２つからなり、強いチームが弱いチームに勝つ確率は75％、強いチームが強いチーム、あるいは弱いチームが弱いチームに勝つ確率は50％とする。トーナメントの組み合わせはシードなしでランダムに決め、また引き分けはないとする。弱いチームが優勝する確率を求めよ。(平成21年度東京大学大学院理学系研究科修士課程）
解答 １回戦の組み合わせは２通り存在する。①強vs強、弱vs弱の組み合わせになる場合と、②２試合とも強vs弱の対戦になる場合である。①と②のどちらの組み合わせになるか、その確率はどちらも１/2である。①の組み合わせになった場合、決勝戦の組み合わせは必ず、強vs弱となり、弱いチームが勝つ確率は1/4だから、組み合わせが①で弱いチームが優勝する確率は1/2×1/4=1/8である。②の組み合わせになった場合、弱いチームが優勝するにはさらに二つの場合が存在する。②‐①決勝の組み合わせが弱vs弱になる場合と、②‐②1回戦の１つは強いチームが勝ち、もう一つは弱いチームが勝ち、決勝で弱いチームが勝つ場合である。②‐①では、決勝を待たずに弱いチームの優勝が決まるからその確率は1/2×1/4×1/4＝1/32であり、②‐②の確率は1/2×3/4×１/４×1/4=3/64である。よつて弱いチームが優勝する確率は、1/8＋1/32＋3/64＝13/64となる。
一般に、強弱それぞれ同数のチームでトーナメントを行った場合の計算は難しいが、強弱各２チーム計４チームでのトーナメントなら、正しく場合分けができれば小学生にも解けよう。
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