仕事に関する力学論争への誘い

1.　常識と非常識

　仏教説話をもとに、芥川龍之介が描いた小説の主人公カンダタが、極楽から垂らされた蜘蛛の糸を登るとき、蜘蛛の糸の張力は作用点が動かないので仕事をすることはできないという。エネルギー源はカンダタの筋力だから、一見、極めて常識的のようにも思えるが、別の見方をすれば、ニュートンの運動法則を基本原理とする古典力学において、重心運動の方程式に現れ、重力に逆らって上向きに働く唯一の外力である蜘蛛の糸の張力が、重心運動に仕事をしないと考えるのは極めて不合理である。

　抗力は仕事をするかしないのか、互いに譲れないガチンコ勝負だが、どちらかが、間違いであることは確かである。まずは対戦相手をリスペクトして、蜘蛛の糸の張力は仕事をしないと主張をする人々を常識派と呼ばせていただくことにしよう。コロナ騒動で自粛中に、常識派、非常識派に関わらず、多くの物理愛好者にネットでの参戦、観戦を願いたい。

　観戦だけでも、もちろん歓迎、参戦していただければ、なお歓迎、対戦相手側に回っての参戦であれば大歓迎である。今、一番恐ろしいのは、常識外れの偏屈者とのそしりを受けることではなく、この論争が無観客での一人相撲になることである。

2.　仕事の定義

　これまで力学では仕事をどのように定義してきたのだろうか。高校の物理教科書、例えば、第一学習社の「基礎物理」には仕事について次のように記述されている。

　「物理では、物体に力を加えて、力の向きに物体を移動させたとき、力が仕事をしたという。物体に一定の大きさF［N］の力を加え、力の向きに距離ｓ［ｍ］移動させたとき、力が物体にした仕事Wは次のように定められる。W＝Fｓ　（仕事［J］＝力の大きさ［N］×移動距離［ｍ］）」　

　他社の高校教科書、大学初年次用の物理教科書、また広辞苑やブルタニカ世界百科辞典も同様な定義である。それに対し、岩波書店の理化学辞典では、仕事を次のように定義している。

　「力学系に力Fが作用し作用点がdrだけ変位するとき、スカラー積を(F,dr)を、その力が力学系になした仕事という。」

　高校物理教科書に定義されている仕事を仕事A、理化学辞典の仕事を仕事Bと呼ぶことにすると、抗力などの作用点が動かない外力は仕事Bをすることはできないが、仕事Aをすることは可能である。

　これに対し、物理学会で多数を占める常識派は次のように主張する。「高校教科書における仕事の記述は初心者を対象に書かれているので、物体と書かれているが、実は物体一般ではなく、仕事の対象を質点に限定したときの仕事と考えなければならない、高校教科書は分かりやすさを優先しているため、厳密さを犠牲にしているので、仕事の厳密な定義は仕事Bのみである。」

　しかし、そうであるなら、仕事Aは物体と書かずに、はじめから質点と書けば済むことである。また、仕事Bが唯一の仕事なら、教科書にも、理化学辞典と同じく、仕事は物体に働く力と作用点の移動距離との積と書くべきである。質点や作用点の概念は、高校教科書にもすでに説明されていることであり、高校生にとって難しい概念とは思えない。

　物事を定義するのは他と明確に区別するためであり、常識派の主張は当たらない。仕事Aも、文字通り、物体一般に対する仕事の定義である。高校物理教科書は、本当は質点と書くべきところを、ついうっかりして、物体と書いてしまったのではない。

　非常識派の筆者から見ると、高校物理教科書は、非常に良くできている。多くの物理関係者によって、改訂に改訂を重ね、長い年月をかけてつくられたのが高校教科書である。筆者は、在職中、大学入試問題の作製に、長年、関わってきたが、出題ミスをしないためには、高校教科書の関連する箇所を一字一句よく読むことが鉄則である。教科書の記述を勝手に変えては出題ミスは防げない。

　仕事Aは、作用点の移動の有無に関わらず、外力が物体の並進運動に対してした仕事であり、質点に限定した仕事ではなく、物体一般の、並進運動に限定した仕事である。それに対し、仕事Bは、系の並進運動のみならず、外力が系の回転運動や変形運動や熱運動も含めた系全体の運動に対してした仕事である。仕事Bは、系外から系内に流れ込んだ力学的エネルギーであり、そのエネルギーが系内で何のエネルギーになったかについては言及しない。

　仕事Bは系外からのエネルギーの流入のないカンダタ問題には一切無関係の仕事である。常識派の主張のように、仕事Aは質点を対象にした仕事であり、物体一般に対する仕事は仕事Bのみとしたのでは、力学そのものがが成り立たない。

　仕事Aと仕事Bとは異なった仕事であるが、常識派が、国会答弁まがいの支離滅裂な主張を繰り返す背景には、それなりの理由がある。30数年前にアメリカで発表されたpseudoworkに関する論文が影響しているが、pseudoworkについては後述することにして、古典力学の基本は言うまでもなく、ニュートンの運動法則であり、それは抗力が仕事をすることを禁じてはいない。　

　カンダタが蜘蛛の糸を登るときエネルギーは、カンダタの内部で創り出されたエネルギーであり、そのエネルギーによって筋力が自らの変形運動に対して仕事をするが、変形運動のエネルギーが、カンダタの重心運動に伝達されるには、蜘蛛の糸の張力のする仕事が必要になる。このときの蜘蛛の糸の張力は作用点が動かないが、変形運動と重心運動とに、負と正の仕事を同時にすることによって、変形運動のエネルギーを重心運動に伝達している。

　今回、それを実証するために、ニュートンの母国、英国から強力な助っ人が駆けつけてくれた。カンダタに負けず劣らず、豆の木を登って天国の大男から金の卵を産むメンドリを盗んできたというジャックが、カンダタとコンビを組めば最強バディ。常識派に牛耳られている物理学会誌および物理教育学会誌の両編集委員会の互いに申し合わせたかのような岩盤規制に風穴を開けるべく、カンダタとジャックの二人に、宇宙の慣性系で仕事に関する体を張った力学実験をしてもらった。

3.　実験の準備

　 ニュートン力学は、運動の第1法則によって慣性系を定義することから始まる。第1法則が成り立つ座標系が慣性系である。宇宙ステーションも厳密に言えば局所慣性系だが、理想的な慣性系のなかで、 人を含めた物体一般の運動はどうなるだろうか。 それぞれ地獄と天国を体験したカンダタとジャックだが、今回は、彼らにとっても未体験の世界、無重力空間に慣れるには、彼らもしばらく準備運動が必要のようである。

　彼らは、そこが地上とは勝手の違う世界であることを体験するに違いない。無重力の慣性座標系のなかで、他の何ものにも触れなくても、猫の逆さ落としのように、自分の体をくねらせれば、角運動量ゼロの状態でも向きを変えることは可能だが、他に触れなければ、筋力によって、いくら体を動かしても、重心は静止したままか、等速度運動を続けるかである。 回転の角運動量も変化しない。

　人体も含めた物体一般の運動には、物体の重心運動（並進運動）①、物体の重心のまわりの回転運動②、物体の曲げや屈伸ひねりなどの変形運動③が存在する。人の筋力は③に仕事をすることはできるが、①に仕事をすることはできない。 他と接触しない限り、 ③が獲得したエネルギーが①のエネルギーになることはない。

　回転運動②については、筋力によって変形しても角運動量は変わらないが、変形することによって、人体の慣性モーメントが変化すると、外力がなくても回転運動のエネルギーは変化する。しかし、初期条件として角運動量がゼロであれば、慣性モーメントが変化しても、外力が働かなければ角運動量も回転の運動エネルギーもゼロのままである。

　人が最初静止していて外力が働かなければ、筋力だけでは、人体に①や②は生じない。筋力の仕事によって生じた変形運動のエネルギーは、外力がなければ、行き場を失い体内で熱エネルギーとして消費されるだけである。カンダタとジャックが宇宙での感覚に慣れたようだから、二人に宇宙の慣性系土俵のなかで押し相撲をしてもらおう。

4.　宇宙実験

　静止していた二人が押し合うとき、互いに相手の重心に向かって押し合えば、どちらにも回転運動②が生じることはない。両者の運動は重心運動①と変形運動③だけを考えればよい。 運動の第3法則から、 カンダタが、ジャックを押すと、 ジャックから押し返され、このとき両者が及ぼし合う力の大きさは等しく、力の向きは互いに逆向きとなる。さらにカンダタとジャックのそれぞれに運動の第2法則を適用すれば、カンダタとジャックの重心は、それぞれ、質量に反比例した逆向きの加速度を受けるが、両者からなる系の重心は静止したままである。

　カンダタとジャックが互いに押し合う力の作用点は両者の接触点であるが、両者が離れるまでの接触点の運動は、両者がどのような姿勢で押し合うかで変わる。そこで、カンダタとジャックの質量が等しいとして、接触点が変化しない場合と、変化する場合の二通りの押し合いをしてもらおう。

対称的な押し合い

　最初、静止していたカンダタKとジャックJとが、図1のように、左右対称に押し合えば、両者からなる系の重心Oだけでなく、両者の接触点Pも動くことはない。二人はどちらも重心運動①と変形運動③をしながら押し合う。カンダタがジャックを押す力 は、の反作用力でもあるが、それはジャックの重心運動に仕事をする。同様に、 は、カンダタの重心運動に仕事をする。両者が腕を伸ばしきったとき、両者の接触はなくなり、及ぼし合う力もなくなり、両者は逆向きに等速度運動をしながら互いに離れていく。

　両者は互いに相手と仕事をし合うので、正味のエネルギーの移動はなく、作用点Ｐは動かない。 二人が及ぼし合う力 および力 の大きさをF 、二人の重心、 および力 が、それぞれ左右に動く速さをｖ とすると、互いに、相手の重心運動に仕事率Fｖ で仕事をする。 このとき、カンダタもジャックも変形運動しているので、質点ではなく、質点とみなすこともできない。しかし、その重心運動には相手から受ける力が仕事をしている。常識派の主張は崩れる。

非対称な押し合い

　次に、図2のようにジャックは腕を伸ばさず、カンダタだけが変形運動③をする場合を考えよう。 カンダタは体を縮めた状態から前後に体を伸ばすことによって、ジャックを押すが、第3法則によって変形運動をしないジャックもカンダタを押す。全体系の重心Oが動かないのも、 二人のそれぞれの重心が互いに同じ速さｖで逆向きに動くのも図1の場合と同じだが、今度は、ジャックは変形運動しないので、両者の接触点、即ち、力の作用点Pは、ジャックの重心 と同じ速度で動く。つまり、Pも速さｖ で右方向に動く。

　カンダタとジャックの重心の運動方程式は図1の場合と全く同じなので、それぞれが相手に及ぼす力が相手の重心運動に仕事率Ｆｖで仕事をすることは同じであるが、今度は作用点が移動するので、カンダタ側からジャック側へ仕事Bによってエネルギーの移動Ｆｖ が生じる。

　変形運動をするカンダタは、筋力をエネルギー源として、ジャックの重心運動に仕事をすることができるが、変形運動をしないジャックは、カンダタの重心運動に仕事をするのにカンダタから受け取った仕事Bのエネルギーを用いている。つまり、カンダタの筋力は、ジャックの重心運動とカンダタ自身の重心運動の両方に必要なエネルギーを供給しなければならない。図1の対称な押し合いでは、二人とも疲労するが、図2の場合はカンダタはジャックの分まで疲労することになる。 この場合、ジャックは質点とみなせるが、変形運動をするカンダタは質点とはみなせない。ジャックがカンダタに及ぼす力が、カンダタの重心運動にエネルギー保存則に反することなく仕事をすることができるのは、仕事Bによって、カンダタからジャックにエネルギーが流入しているからである。

5.　地上での運動

　宇宙実験と、二つの仕事の定義をもとに、地上での日常の力学現象について考えてみよう 。地上では重力が働くが、重力場のなかでの物体の運動もニュートンの運動法則が基本原理であることに変わりはない。

　図3のように、地上の重力場で、人が屈んだ状態から立ち上がるとき、重力に逆らって、人に働く上向きの外力は地面から受ける垂直抗力だけである。人が体を伸ばそうとするとき、人の筋力が変形運動に、正の仕事をし、地面からの垂直抗力は、変形運動に負の仕事をすると同時に、重心運動の力学的エネルギーに正の仕事をする。カンダタが蜘蛛の糸を登る場合と同じである。 

　図4のように自転車が道路を加速しながら走るとき、動力源である人の筋力が仕事をしているのは自転車の後輪の回転運動に対してである。後輪のタイヤが道路から前向きに受ける水平抗力（静止摩擦力）Fは後輪の回転とは逆回りの力のモーメントとして働き、後輪の回転運動に負の仕事をすると同時に、自転車の推進力となって、並進運動に正の仕事をしている。並進運動が加速すると、前輪のタイヤに後ろ向きに水平抗力ｆが働き、ｆ は並進運動に負の仕事をするとともに、前輪の回転運度に正の仕事をする。タイヤが道路から受ける水平抗力Fやｆは、作用点は動かないが、ともに回転運動と並進運動に正と負の仕事を同時にすることによって、筋力の仕事によって得られたエネルギーを並進運動や前輪の回転運動に伝達している。

　カンダタ問題と同じく、図3と図4も、系外からのエネルギーの流入はないので、仕事Bとは無関係である。系内でつくられたエネルギーは、抗力のする正と負の同時一対の仕事によって、系の重心運動に伝達されている。系の重心運動に仕事をするのは抗力のする仕事Aである。仕事Bのみが唯一の仕事とする常識派の人々の主張は全くの的外れである。

6.　Pseudowork

　30数年前に提唱されたpseudowork の考えでは、図3も図4の場合も仕事をしたのは人の筋力であり、垂直抗力Rや水平抗力Fやfのする仕事は仕事に似て仕事でない偽の仕事であるという。しかし、これを真の仕事としなければ、筋力が生み出したエネルギーがどのようにして重心運動に伝達されるかが説明できない。抗力が仕事をしても、力学の基本原理である運動の法則に反することは何もない。エネルギーの保存則にも反しない。

　抗力のする仕事がニュートンの運動法則に矛盾することなく説明できるので、pseudowork は力学にとって全く不要な概念になる。しかし、pseudoworkの登場は、それ以後に出版された辞典における仕事の記述に混乱をもたらしているようである。培風館の「物理学辞典」(2005)は仕事を次のように定義している。

　「物体に力を加えて、物体が力の向きに移動したとき、力は物体に仕事をしたと言い仕事の量は力と移動距離の積で与えられる。一般には、力の向きと物体の移動の方向は必ずしも一致しないので、物体または力学系に外力Fが作用し、作用点がdsだけ変位したとき、仕事は両者のスカラー積、F・ds=Fdscosθである。ただし、θは力Fと変位dsのなす角である。」

　この辞典の定義は、異なる二つの仕事である仕事Aと仕事Bとを同じ仕事と錯覚し、コピペして無理にくっつけているので木に竹を接いだような意味不明な記述になっている。しかし、高校教科書とは違い、この文章が高校生の目にふれることは、まず、考えられないないことが、唯一の救いであろう。

7.　おわりに

　 エーテル説、フロギストン説、ルイセンコ説のように、一時的に注目されても、その後の科学の発展によって淘汰された仮説は多い。しかし、力学の黎明期ならまだしも、ニュートン力学はすでに完成した学問であり、今頃、仕事に似て仕事でないという時代錯誤の仮説が入り込む隙間は力学には存在しない。

　抗力が仕事をする場合は必ず正と負の仕事を同時にするので力学法則に矛盾することはない。高校教科書の仕事の定義を変更する必要もない。Pseudoworkをもって、抗力のする仕事を否定する常識派の主張は本末転倒である。

　超大国であることは万人の認めるところだが、進化論を否定し創造説を信じる国で、都市伝説まがいの得体の知れない仕事の存在を主張した30数年前の論文に集団洗脳されて思考停止の状態に陥り、今尚、その呪縛が解けず、抗力のする仕事を否定するのは、時代に逆行し、地動説を否定して現在の天文学に天動説を復活させるような愚挙と言わざるを得ない。

参考

1. 「蜘蛛の糸」仕事をしたのはカンダタの筋力か？日本物理学会誌71.2(2016)
2. ブランコとボタフメイロ
3. ローラー引きの力学

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