大学院入試問題研究 2

　一辺の長さが1の正三角形ABCの頂点Aから、辺BCへの垂線ADを引いたときBDの長さを ${ x }_{ 1 }$ とする。次に、Dから辺CAに下した垂線をDEとし、CEの長さを ${ x }_{ 2 }$ 　、Eから辺ABに下した垂線をEFとし、AFの長さを ${ x }_{ 3 }$ というように、同様の手続きを繰り返すとき、極限値 $\lim _{ n\rightarrow \infty }{ {x }_{ n } }$ を求めよ。（Ｔ大学大学院入試過去問）

解説　AF=AE/2=(AC-CE)/2　より、 ${ x }_{ 3 }$ ＝（1- ${ x }_{ 2 }$ )/2、一般に、 ${ x }_{ n }$ ＝（1- ${ x }_{ n-1 }$ )/2 となることが分かる。さらに、 ${ x }_{ n }$ -c＝k( ${ x }_{ n-1 }$ -c ) とすると、c=1/3、k=-1/2、よって数列 ${ x }_{ n }$ -c は、公比が-1/2の等比数列だから、n→∞で0に収束する。よつて数列 ${ x }_{ n }$ は1/3に収束する。