大学院入試問題研究 2

 一辺の長さが1の正三角形ABCの頂点Aから、辺BCへの垂線ADを引いたときBDの長さを [math]{ x }_{ 1 }[/math] とする。次に、Dから辺CAに下した垂線をDEとし、CEの長さを [math]{ x }_{ 2 }[/math]  、Eから辺ABに下した垂線をEFとし、AFの長さを [math]{ x }_{ 3 }[/math] というように、同様の手続きを繰り返すとき、極限値 [math]\lim _{ n\rightarrow \infty }{ {x }_{ n } }[/math] を求めよ。(T大学大学院入試過去問)

解説 AF=AE/2=(AC-CE)/2 より、 [math]{ x }_{ 3 }[/math] =(1- [math]{ x }_{ 2 }[/math] )/2、一般に、 [math]{ x }_{ n }[/math] =(1- [math]{ x }_{ n-1 }[/math] )/2 となることが分かる。さらに、 [math]{ x }_{ n }[/math] -c=k([math]{ x }_{ n-1 }[/math] -c ) とすると、c=1/3、k=-1/2、よって数列 [math]{ x }_{ n }[/math] -c は、公比が-1/2の等比数列だから、n→∞で0に収束する。よつて数列 [math]{ x }_{ n }[/math] は1/3に収束する。

大学入試レベル!T大学大学院入試恐れるに足りず

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