球面四辺形の対角線の交点

大学院入試過去問より①

　図のように、原点Ｏを中心とする、半径１の球面上の四角形、つまり、球面四角形ＡＢＣＤの対角線の交点をＰとする。対角線、ＡＣおよびＢＤは、いずれも大円に沿った測地線とする。Ｐおよび、Ａ、Ｂ、Ｃ，Ｄの位置ベクトルをそれぞれ、ｐ、a、ｂ、ｃ、ｄとする。ｐをa、b、c、dを用いて表せ。

ヒント：一見難しいが、この問題は、ベクトルｐが３点Ｏ、Ａ、Ｃを含む平面αと３点Ｏ、Ｂ、Ｄを含む平面βの交線上にあることに気づけば簡単である。

解答
　平面αに垂直なベクトルαはベクトル積a×ｃと表わされ、平面βに垂直なベクトルβはb×ｄである。さらに、ベクトルｐはαとβの両方に垂直であるから、
となる。ｐは単位ベクトルであるから、規格化してとなる。