音源が静止していて観測者が動く場合
x方向に伝わる音の波も、前節の万歳のウエーブと同じく、次のような波動方程式で表わされる。
y=Asin(ωt-kx) (1)
ただし、音は縦波であるから、媒質の変移yは波の進行方向xと同じ向きである。x方向に速度vで動いている観測者がこの音を聞いたとしよう。つまり、時刻tにおける観測者の位置を
x=x0+vt (2)
とすると、観測者に聞こえる音の振動は(2)を(1)に代入して、
y=Asin[(ω-kv)t-kx0] (3)
となる。これは、観測者に聞こえる音の角振動数をω’とすると、ω’=ω-kvとなり、音速をcとすれば、
ω’=ω(1-v/c) (4)
となる。観測者に聞こえる音の振動数は、音源が発した音の振動数の1-v/c倍となるので、観測者が音の進行方向に進めば、音は観測者に低く聞こえ、音のの進行方向と逆に進めば、高く聞こえる。
静止している観測者に音源が近づく場合
音源が時間τの間にn回振動したとすると、音源の振動f数はn/τであり、音源が静止していれば、聞こえる時間は遅れるが、静止した観測者にも振動数n/τの音として聞こえる。しかし、音源が速さvで観測者に近づきながら音を発すると、音源のn回目の振動は、そのとき音源は静止している場合より、vτだけ観測者に近づいているので、vτ/cだけ早く聞こえる。つまり、観測者はτ-vτ/cの間にn回の振動を聞くことになるので、観測者が聞く振動数はn/[τ(1-v/c)]となり、音源が静止している場合の振動数の(1-v/c)-1倍となる。音源が遠ざかる場合はvの符号を変えればよい。救急車やパトカーのサイレンの音は近づくとき高く聞こえ、遠ざかるとき低く聞こえる。
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