音のドップラー効果

音源が静止していて観測者が動く場合
　x方向に伝わる音の波も、前節の万歳のウエーブと同じく、次のような波動方程式で表わされる。
　　　　　　　　　y=Asin(ωt-kx)　　　　　　　　（1）
ただし、音は縦波であるから、媒質の変移yは波の進行方向xと同じ向きである。x方向に速度ｖで動いている観測者がこの音を聞いたとしよう。つまり、時刻tにおける観測者の位置を
　　　　　　　　　x=x₀+vt　　　　　　(2)
とすると、観測者に聞こえる音の振動は（2）を（1）に代入して、
　　　　　　　　　ｙ＝Asin[(ω-kv)t-kx₀]　　　（3）
となる。これは、観測者に聞こえる音の角振動数をω^’とすると、ω^’＝ω-kvとなり、音速をcとすれば、
　　　　　　　　　ω^’＝ω(1-v/c)　　　　　　　　　(4)
となる。観測者に聞こえる音の振動数は、音源が発した音の振動数の1-v/c倍となるので、観測者が音の進行方向に進めば、音は観測者に低く聞こえ、音のの進行方向と逆に進めば、高く聞こえる。
静止している観測者に音源が近づく場合
　音源が時間τの間にｎ回振動したとすると、音源の振動ｆ数はｎ/τであり、音源が静止していれば、聞こえる時間は遅れるが、静止した観測者にも振動数ｎ/τの音として聞こえる。しかし、音源が速さｖで観測者に近づきながら音を発すると、音源のｎ回目の振動は、そのとき音源は静止している場合より、ｖτだけ観測者に近づいているので、ｖτ/ｃだけ早く聞こえる。つまり、観測者はτ-ｖτ/ｃの間にｎ回の振動を聞くことになるので、観測者が聞く振動数はｎ/［τ（1-ｖ/ｃ）］となり、音源が静止している場合の振動数の（1-ｖ/ｃ）^-1倍となる。音源が遠ざかる場合はｖの符号を変えればよい。救急車やパトカーのサイレンの音は近づくとき高く聞こえ、遠ざかるとき低く聞こえる。