プロ野球のドラフト会議で、複数の球団が同じ選手を一位指名した場合、その選手との交渉権を巡って、くじ引きをするが、その前にくじを引く順番をくじで決めるという。しかし、くじ引きの順番を決めるくじにどんな意味があるのだろうか。
ドラフト会議の当たりくじは一本だけであるが、一般化してくじ箱のなかに複数の当たりくじが入っている場合を考えてみよう。順番にくじを引いていく際、当たり外れにかかわりなく、引いたくじを箱に戻して次のくじを引く場合は、箱の中の当たりくじの割合は常に一定であるので、当然、当たる確率はくじを引く順番によらない。しかし、その場合は当選者の数が当たりくじの数を上回る可能性が出てくる。
それでは引いたくじを箱に戻さないで、次々にくじを引く場合を考えてみよう。くじ箱の中に、初め、当たりくじのR個の赤玉と外れくじのW個の白玉、合計N(=R+W)個の玉が入っていたとしよう。箱から1個の玉を取り出したとき、それが当たりの赤である確率および外れの白である確率は、それぞれ、R/N および W/Nである。次に、2番目にくじを引くとき、箱の中の全体の玉は1個減っていて (N-1)個であり、そのうち、赤の玉の数は、1番目のくじが当たっていたとすれば、1個減っているので (R-1)個であり、また、1番目が外れの白玉であったとすれば、赤玉の数はR個のままである。2番目に引くくじが当たる確率は、1番目も2番目も、ともに当たる確率と、1番目は外れ、2番目は当たる確率との和である。前者はR/N・(R-1)/(N-1)であり 、後者はW/N・R/(N-1) である。両者の和をとれば、(R(R-1)+WR)/N(N-1)=R/N となり、1番目に引いても2番目に引いても当たる確率は同じである。
一般にn番目に引いたときの当たる確率をPn としよう。つまり、これからn番目のくじを引こうとするとき、すでにn-1個の球が箱から取り出されているので、箱のなかの玉の数はN-n+1 個であり、そのなかに、当たりくじの赤玉が(N-n+1)Pn個存在していることになる。n+1 番目に引いて当たる確率 は、n 回目、n+1回目と続けて当たる確率と、n 回番目には外れ、 n+1番目には当たる確率との和である。よつて、次式が成り立つ。
Pn+1=Pn・((N-n+1)Pn-1)/(N-n)+(1-Pn)・(N-n+1)Pn/(N-n)=Pn
これは当たる確率がくじ引きの順番nによらないことを示している。
あとでくじを引けば、当たりくじがなくなり、「くじ運」が強くても、それを生かせないような気もするが「残りものに福あり」という諺もある。今回、長嶋茂雄巨人軍名誉監督とともに、国民栄誉賞を受賞した元巨人軍の松井秀喜選手がプロ入りしたときのドラフト会議では、4球団が競合し、抽選になったが、最後にくじを引いた当時の長嶋巨人軍監督が松井秀喜を引き当てる結果となった。長嶋監督お得意の「メークドラマ」は、すでにドラフト会議での松井争奪戦から始まっていたようである。
くじ引きの順番
数学
コメント